Hàm hyperbolic là hàm phân thức của ex khi mà tử số và mẫu số có bậc cao nhất là hai, những hàm này có thể được giải bằng ex, khi sử dụng công thức bậc hai; sau đó, lấy logarit tự nhiên cho biểu thức là hàm ngược hyperbolic.

Với số phức, hàm hyperbolic ngược, căn bậc hai và logarit là hàm đa trị, và đẳng thức tiếp theo được xem như là đẳng thức của hàm đa trị.

Cho tất cả những hàm hyperbolic ngược ngoài trừ hàm coth và hàm csch, tập xác định của hàm thực là tập hợp liên thông.

Hàm sinh ngược

Hàm sinh ngược hay hàm sinh diện tích:

arsinh ⁡ x = ln ⁡ ( x + x 2 + 1 ) {\displaystyle \operatorname {arsinh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)}

Tập xác định là số thực.

Hàm cosh ngược

Hàm cosh ngược hay hàm cosh diện tích:

arcosh ⁡ x = ln ⁡ ( x + x 2 − 1 ) {\displaystyle \operatorname {arcosh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}

Tập xác định là khoảng [1, +∞ ).

Hàm tanh ngược

Hàm tanh ngược hay hàm tanh diện tích:

artanh ⁡ x = 1 2 ln ⁡ ( 1 + x 1 − x ) {\displaystyle \operatorname {artanh} x={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)}

Tập xác định là khoảng (−1, 1).

Hàm coth ngược

Hàm coth ngược hay hàm coth diện tích:

arcoth ⁡ x = 1 2 ln ⁡ ( x + 1 x − 1 ) {\displaystyle \operatorname {arcoth} x={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right)}

Tập xác định là phép hợp giữa khoảng (−∞, −1) và khoảng (1, +∞).

Hàm sech ngược

Hàm sech ngược hay hàm sech diện tích:

arsech ⁡ x = ln ⁡ ( 1 x + 1 x 2 − 1 ) = ln ⁡ ( 1 + 1 − x 2 x ) {\displaystyle \operatorname {arsech} x=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}-1}}\right)=\ln \left({\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}\right)}

Tập xác định là khoảng (0, 1].

Hàm csch ngược

Hàm csch ngược hay hàm csch diện tích:

arcsch ⁡ x = ln ⁡ ( 1 x + 1 x 2 + 1 ) {\displaystyle \operatorname {arcsch} x=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}}\right)}

Tập xác định là số thực ngoại trừ 0.